Geometria não euclidiana

Na matemática, uma geometria não euclidiana é aquela baseada num sistema axiomático distinto da geometria euclidiana. Modificando o axioma das paralelas, que postula que por um ponto exterior a uma reta passa exatamente uma reta paralela à inicial, obtêm-se as geometrias elíptica (não existe nenhuma paralela) e hiperbólica (existem infinitas paralelas). O desenvolvimento dessas geometrias ocorreu com diversos trabalhos ao longo da história, mas teve grande contribuições de matemáticos como Nikolai Lobachevsky, János Bolyai, Carl Friedrich Gauss e Bernhard Riemann, que de forma independente demonstraram a consistência lógica dos sistemas geométricos alternativos.

As geometrias não euclidianas revolucionaram a matemática e a filosofia da ciência, mostrando que o espaço físico não precisa obedecer aos postulados de Euclides. Hoje, além da importância teórica, elas têm aplicações em áreas como cosmologia, relatividade, cartografia, navegação, artes e computação gráfica.

A diferença essencial entre as geometrias métricas é a natureza das retas paralelas. O quinto postulado de Euclides, o postulado das paralelas, é equivalente ao postulado de Playfair, que afirma que, dentro de um plano bidimensional, para qualquer reta L dada e um ponto A, que não está em L, existe exatamente uma reta passando por A que não intersecta L. Na geometria hiperbólica, em contraste, existem infinitas retas passando por A que não intersectam L, enquanto na geometria elíptica, qualquer reta passando por A intersecta L.

Outra maneira de descrever as diferenças entre essas geometrias é considerar duas retas estendidas indefinidamente em um plano bidimensional que são ambas perpendiculares a uma terceira reta (no mesmo plano):

• Na geometria euclidiana, as retas permanecem a uma distância constante uma da outra (o que significa que uma reta traçada perpendicular a uma delas em qualquer ponto intersectará a outra reta e o comprimento do segmento de reta unindo os pontos de interseção permanece constante) e são conhecidas como paralelas.
• Na geometria hiperbólica, elas se afastam uma da outra, aumentando a distância conforme se move para mais longe dos pontos de interseção com a perpendicular comum; essas retas são frequentemente chamadas de ultra-paralelas.
• Na geometria elíptica, as retas convergem uma em direção à outra e se intersectam.

A geometria euclidiana, nomeada em homenagem ao matemático grego Euclides,inclui algumas das matemáticas mais antigas conhecidas. Geometrias que se desviavam da geometria euclidiana não foram amplamente aceitas como legítimas até o século XIX.

O debate que eventualmente levou à descoberta das geometrias não euclidianas começou quase imediatamente após a escrita de "Os Elementos" por Euclides. Na obra, Euclides parte de um número limitado de suposições (23 definições, cinco noções comuns e cinco postulados) e busca provar todos os outros resultados (proposições) da obra. O mais notório dos postulados é frequentemente chamado de "Quinto Postulado de Euclides" ou simplesmente o postulado das paralelas, que na formulação original de Euclides é:

Fique postulado, caso uma reta, caindo sobre duas retas, faça os ângulos interiores do mesmo lado menores do que dois retos, sendo prolongadas as duas retas, ilimitadamente, encontrarem-se no lado no qual estão os menores do que dois retos^[1]

Por pelo menos mil anos, os geômetras ficaram intrigados com a complexidade desproporcional do quinto postulado, acreditando que ele poderia ser demonstrado como um teorema derivado dos outros quatro. Muitos tentaram encontrar uma prova por contradição, incluindo Alhazém (século XI),^[2] Omar Caiame (século XII), Naceradim Atuci (século XIII) e Giovanni Girolamo Saccheri (século XVIII).^[3]

Os teoremas de Alhazém, Caiame e Atuci sobre quadriláteros, incluindo o quadrilátero de Lambert e o quadrilátero de Saccheri, foram “os primeiros teoremas das geometrias hiperbólica e elíptica”. Esses teoremas, juntamente com seus postulados, como o axioma de Playfair, desempenharam um papel importante no posterior desenvolvimento da geometria não euclidiana. Essas primeiras tentativas de contestar o quinto postulado tiveram uma influência considerável no seu desenvolvimento desta geometria, especialmente entre geômetras europeus posteriores, incluindo Vitello, Levi ben Gerson, Alfonso, John Wallis e Saccheri.^[4] Todas essas tentativas iniciais de formular uma geometria não euclidiana, entretanto, forneciam provas falhas do postulado das paralelas, baseadas em suposições que hoje são reconhecidas como essencialmente equivalentes ao próprio postulado das paralelas. Ainda assim, esses esforços iniciais forneceram algumas propriedades preliminares das geometrias hiperbólica e elíptica.

Caiame, por exemplo, tentou derivar o postulado das paralelas a partir de um postulado equivalente que formulou dos “princípios do Filósofo” (Aristóteles): “Duas retas convergentes se encontram, e é impossível que duas retas convergentes se afastem na direção em que convergem.”^[4] Caiame então considerou os três casos: ângulos retos, obtusos e agudos, que os ângulos do vértice de um quadrilátero de Saccheri podem assumir e, após demonstrar certo número de teoremas sobre eles, refutou corretamente os casos obtuso e agudo com base em seu postulado, chegando assim ao postulado clássico de Euclides, sem perceber que era equivalente ao seu próprio postulado.^[3]

Outro exemplo é o de al-Tusi, cujo filho, Sadr al-Din (às vezes chamado de “Pseudo-Tusi”), escreveu um livro sobre o tema em 1298, baseado nas ideias posteriores de al-Tusi, que apresentavam outra hipótese equivalente ao postulado das paralelas. Ele essencialmente revisou tanto o sistema euclidiano de axiomas e postulados quanto as demonstrações de muitas proposições de Os Elementos^[4][5]. Sua obra foi publicada em Roma em 1594 e estudada por geômetras europeus, incluindo Saccheri^[5], que a criticou, assim como fez com o trabalho de Wallis^[6].

Giordano Vitale, em seu livro Euclide restituto (1680, 1686), utilizou o quadrilátero de Saccheri para provar que, se três pontos são equidistantes na base AB e no topo CD, então AB e CD são equidistantes em toda a sua extensão.^[7]

Em uma obra intitulada Euclides ab Omni Naevo Vindicatus (Euclides Livre de Todas as Falhas), publicada em 1733, Saccheri rapidamente descartou a geometria elíptica como possibilidade (alguns outros axiomas de Euclides devem ser modificados para que a geometria elíptica funcione) e passou a demonstrar um grande número de resultados em geometria hiperbólica.^[3] Ele finalmente chegou a um ponto em que acreditava que seus resultados demonstravam a impossibilidade da geometria hiperbólica. Sua alegação parece ter se baseado em pressupostos euclidianos, já que nenhuma contradição lógica estava presente. Nessa tentativa de provar a geometria euclidiana, Saccheri, não intencionalmente, acabou descobrindo uma nova geometria viável, mas não chegou nessa conclusão.

Em 1766, Johann Lambert escreveu, mas não publicou, Theorie der Parallellinien, no qual tentou, assim como Saccheri, provar o quinto postulado. Ele trabalhou com uma figura hoje conhecida como quadrilátero de Lambert, um quadrilátero com três ângulos retos (pode ser considerado como “metade” de um quadrilátero de Saccheri). Lambert eliminou rapidamente a possibilidade de que o quarto ângulo fosse obtuso, como já haviam feito Saccheri e Khayyam, e então prosseguiu para provar vários teoremas sob a hipótese de que o ângulo fosse agudo. Diferentemente de Saccheri, Lambert nunca sentiu que tivesse encontrado uma contradição nessa hipótese. Ele demonstrou corretamente o resultado não euclidiano de que a soma dos ângulos internos de um triângulo diminui à medida que a área do triângulo aumenta, o que o levou a especular sobre a possibilidade de um modelo para o caso agudo em uma esfera de raio imaginário. Ele, no entanto, não levou essa ideia adiante.^[6][3]

Naquela época, acreditava-se amplamente que o universo funcionava de acordo com os princípios da geometria euclidiana.

O início do século XIX testemunharia finalmente passos decisivos na criação da geometria não euclidiana. Por volta de 1813, Carl Friedrich Gauss e, independentemente, por volta de 1818, o professor alemão de direito Ferdinand Karl Schweikart^[8] desenvolveram as primeiras ideias da geometria não euclidiana, mas nenhum deles publicou resultados. O sobrinho de Schweikart, Franz Taurinus, publicou resultados importantes de trigonometria hiperbólica em dois artigos em 1825 e 1826, mas, embora admitisse a consistência interna da geometria hiperbólica, ainda acreditava no papel especial da geometria euclidiana.^[9]

Então, em 1829–1830, o matemático russo Nikolai Ivanovich Lobachevsky e, em 1832, o matemático húngaro János Bolyai publicaram, separada e independentemente, tratados sobre geometria hiperbólica. Consequentemente, a geometria hiperbólica é chamada de geometria lobachevskiana ou bolyai-lobachevskiana, já que ambos os matemáticos, independentemente um do outro, são os autores fundamentais da geometria não euclidiana. Gauss mencionou ao pai de Bolyai, ao ser mostrado o trabalho do jovem Bolyai, que havia desenvolvido tal geometria vários anos antes, ^[10] embora não a tivesse publicado. Enquanto Lobachevsky criou uma geometria não euclidiana negando o postulado das paralelas, Bolyai desenvolveu uma geometria na qual tanto a geometria euclidiana quanto a hiperbólica são possíveis, dependendo de um parâmetro k. Bolyai conclui seu trabalho mencionando que não é possível decidir apenas por meio do raciocínio matemático se a geometria do universo físico é euclidiana ou não euclidiana; essa é uma tarefa para as ciências físicas.^[11]

Bernhard Riemann, em uma famosa palestra em 1854, fundou o campo da geometria riemanniana, discutindo em particular as ideias hoje chamadas de variedades, métrica riemanniana e curvatura. Ele construiu uma família infinita de geometrias não euclidianas ao fornecer uma fórmula para uma família de métricas riemannianas na bola unitária do espaço euclidiano. A mais simples delas é chamada de geometria elíptica, e é considerada uma geometria não euclidiana devido à sua ausência de retas paralelas.^[12]

Ao formular a geometria em termos de um tensor de curvatura, Riemann permitiu que a geometria não euclidiana fosse aplicada a dimensões superiores. Beltrami (1868) foi o primeiro a aplicar a geometria de Riemann a espaços de curvatura negativa.^[13]

Foi Gauss quem cunhou o termo “geometria não euclidiana”^[14]. Ele estava se referindo ao seu próprio trabalho, que hoje chamamos de geometria hiperbólica ou geometria lobachevskiana. Vários autores modernos ainda utilizam o termo genérico “geometria não euclidiana” para se referir à geometria hiperbólica.^[15]

Arthur Cayley observou que a distância entre pontos dentro de uma cônica poderia ser definida em termos de logaritmo e da função de razão cruzada projetiva (também chamada de razão dupla). O método passou a ser chamado de métrica de Cayley–Klein porque Felix Klein o explorou para descrever as geometrias não euclidianas em artigos ^[16] de 1871 e 1873 e, posteriormente, em forma de livro. As métricas de Cayley–Klein forneceram modelos práticos das geometrias métricas hiperbólica e elíptica, assim como da geometria euclidiana.^[17]

Klein é responsável pelos termos “hiperbólica” e “elíptica” (em seu sistema ele chamava a geometria euclidiana de parabólica, termo que em geral caiu em desuso). Sua influência levou ao uso atual do termo “geometria não euclidiana” para significar tanto a geometria “hiperbólica” quanto a “elíptica”.^[18]

Há alguns matemáticos que estenderiam a lista de geometrias que deveriam ser chamadas de “não euclidianas” de várias maneiras. ^[19]

Existem muitos tipos de geometria que são bastante diferentes da geometria euclidiana, mas que também não estão necessariamente incluídos no significado convencional de “geometria não euclidiana”, como casos mais gerais de geometria riemanniana.

A geometria euclidiana pode ser descrita axiomaticamente de várias maneiras. No entanto, o sistema original de cinco postulados (axiomas) de Euclides não é um deles, já que suas demonstrações se apoiavam em várias suposições não declaradas que também deveriam ter sido tomadas como axiomas. O sistema de Hilbert, consistindo em 20 axiomas , segue de maneira mais próxima a abordagem de Euclides e fornece a justificação para todas as suas demonstrações. Outros sistemas, utilizando diferentes conjuntos de termos indefinidos, obtêm a mesma geometria por caminhos distintos. Todas as abordagens, entretanto, possuem um axioma que é logicamente equivalente ao quinto postulado de Euclides, o postulado das paralelas. Hilbert utiliza a forma do axioma de Playfair, enquanto Birkhoff, por exemplo, usa o axioma que afirma que “Existe um par de triângulos semelhantes, mas não congruentes.” Em qualquer um desses sistemas, a remoção do único axioma equivalente ao postulado das paralelas, seja qual for a forma que ele assuma, mantendo-se todos os outros axiomas intactos, produz a geometria neutra. Como as primeiras 28 proposições de Euclides (em Os Elementos) não requerem o uso do postulado das paralelas nem de nada equivalente a ele, todas são afirmações verdadeiras na geometria neutra.^[20]

Para se obter uma geometria não euclidiana, o postulado das paralelas (ou seu equivalente) deve ser substituído por sua negação. Negar a forma do axioma de Playfair, já que se trata de uma afirmação composta (“... existe uma e somente uma ...”), pode ser feito de duas maneiras: ou existirão mais de uma reta passando pelo ponto paralela à reta dada, ou não existirá nenhuma reta passando pelo ponto paralela à reta dada.

• No primeiro caso, substituindo o postulado das paralelas (ou seu equivalente) pela afirmação “Num plano, dado um ponto P e uma reta l que não passa por P, existem duas retas passando por P que não encontram l” e mantendo todos os outros axiomas, obtém-se a geometria hiperbólica.^[21]
• O segundo caso não é tratado de forma tão simples. Substituir diretamente o postulado das paralelas pela afirmação “Num plano, dado um ponto P e uma reta l que não passa por P, todas as retas que passam por P encontram l” não fornece um conjunto consistente de axiomas. Isso ocorre porque retas paralelas existem na geometria neutra, ^[22] mas essa afirmação diz que não existem retas paralelas. Esse problema já era conhecido (sob outra forma) por Khayyam, Saccheri e Lambert e foi a base para rejeitarem o que se conhecia como o “caso do ângulo obtuso”. Para obter um conjunto consistente de axiomas que inclua esse axioma da inexistência de paralelas, alguns outros axiomas precisam ser ajustados. Essas modificações dependem do sistema axiomático utilizado. Entre outros efeitos, esses ajustes modificam o segundo postulado de Euclides, que originalmente afirmava que segmentos de reta podem ser estendidos indefinidamente, para a afirmação de que as retas são ilimitadas. A geometria elíptica de Riemann surge como a geometria mais natural que satisfaz esse axioma.^[23]

Modelos de geometria não euclidiana são modelos matemáticos de geometrias que são não euclidianas no sentido de que não é verdade que exista exatamente uma única reta paralela a uma reta dada l passando por um ponto A que não está em l. Nos modelos geométricos hiperbólicos, em contraste, existem infinitas retas passando por A paralelas a l, e nos modelos geométricos elípticos não existem retas paralelas.^[23][21][24]

Ver artigo principal: Geometria elíptica

O modelo mais simples para a geometria elíptica é uma esfera, em que as retas são "círculos máximos” (como a linha do equador ou os meridianos em um globo), e pontos opostos (chamados pontos antípodas) são considerados os mesmos. Esse também é um dos modelos padrão do plano projetivo real. A diferença é que, como modelo da geometria elíptica, introduz-se uma métrica que permite a medição de comprimentos e ângulos, enquanto como modelo do plano projetivo não há tal métrica.^[23]

No modelo elíptico, para qualquer reta l e um ponto A que não esteja em l, todas as retas passando por A intersectarão l.^[23]

Ver artigo principal: Geometria hiperbólica

Mesmo após os trabalhos de Lobachevsky, Gauss e Bolyai, a questão permanecia: “Existe um modelo para a geometria hiperbólica?”. A resposta foi dada por Eugenio Beltrami, em 1868, que primeiro mostrou que uma superfície chamada pseudoesfera possui a curvatura apropriada para modelar uma porção do espaço hiperbólico e, em um segundo artigo no mesmo ano, definiu o modelo de Klein, que modela a totalidade do espaço hiperbólico, e utilizou isso para mostrar que a geometria euclidiana e a geometria hiperbólica são equiconsistentes, de modo que a geometria hiperbólica é logicamente consistente se, e somente se, a geometria euclidiana também o for. (A implicação inversa decorre do modelo da horoesfera da geometria euclidiana.)^[21]

No modelo hiperbólico, dentro de um plano bidimensional, para qualquer reta l e um ponto A que não esteja em l, existem infinitas retas passando por A que não intersectam l.^[21]

Nesses modelos, os conceitos das geometrias não euclidianas são representados por objetos euclidianos em um cenário euclidiano. Isso introduz uma distorção perceptual na qual as retas da geometria não euclidiana são representadas por curvas euclidianas que visualmente se curvam. Essa “curvatura” não é uma propriedade das retas não euclidianas, mas apenas um artifício da forma como são representadas.^[21]

Em três dimensões, existem oito modelos de geometrias.^[24] Há as geometrias euclidiana, elíptica e hiperbólica, como no caso bidimensional; geometrias mistas que são parcialmente euclidianas e parcialmente hiperbólicas ou esféricas; versões torcidas das geometrias mistas; e uma geometria incomum que é completamente anisotrópica (isto é, cada direção se comporta de maneira diferente).

As geometrias euclidiana e não euclidianas naturalmente possuem muitas propriedades semelhantes, a saber, aquelas que não dependem da natureza do paralelismo. Essa comunidade de propriedades é o objeto da geometria neutra. Entretanto, as propriedades que distinguem uma geometria das outras historicamente receberam maior atenção.

Além do comportamento das retas em relação a uma perpendicular comum, mencionado na introdução, temos também o seguinte:

• Um quadrilátero de Lambert é um quadrilátero com três ângulos retos. O quarto ângulo de um quadrilátero de Lambert é agudo se a geometria for hiperbólica, reto se a geometria for euclidiana ou obtuso se a geometria for elíptica. Consequentemente, retângulos existem (uma afirmação equivalente ao postulado das paralelas) apenas na geometria euclidiana.^[25]
• Um quadrilátero de Saccheri é um quadrilátero com dois lados de mesmo comprimento, ambos perpendiculares a um lado chamado base. Os outros dois ângulos de um quadrilátero de Saccheri são chamados de ângulos do topo e possuem a mesma medida. Os ângulos do topo de um quadrilátero de Saccheri são agudos se a geometria for hiperbólica, retos se a geometria for euclidiana e obtusos se a geometria for elíptica.^[25]
• A soma das medidas dos ângulos de qualquer triângulo é menor que 180° se a geometria for hiperbólica, igual a 180° se a geometria for euclidiana e maior que 180° se a geometria for elíptica. O excesso angular de um triângulo é o valor numérico dado pela soma das medidas dos ângulos do triângulo - 180°. Ou seja, o excesso angular de triângulos na geometria hiperbólica é negativo, o excesso angular de triângulos na geometria euclidiana é zero e o excesso angular de triângulos na geometria elíptica é positivo.^[26]

Antes que os modelos de um plano não euclidiano fossem apresentados por Beltrami, Klein e Poincaré, a geometria euclidiana permanecia inquestionável como o modelo matemático do espaço. Além disso, como o conteúdo da geometria sintética era considerado um dos principais exemplos de racionalidade, o ponto de vista euclidiano representava autoridade absoluta.

A descoberta das geometrias não euclidianas teve um efeito em cadeia que foi muito além dos limites da matemática e da ciência. O filósofo Immanuel Kant, em sua concepção do conhecimento humano, atribuía um papel especial à geometria. Para ele, a geometria era o principal exemplo de conhecimento sintético a priori: não derivado dos sentidos nem deduzido apenas pela lógica, o nosso conhecimento do espaço seria uma verdade inata. Infelizmente para Kant, a geometria que ele considerava imutavelmente verdadeira era a euclidiana. A teologia também foi afetada por essa mudança da verdade absoluta para a verdade relativa na forma como a matemática se relaciona com o mundo ao nosso redor, resultado dessa mudança de paradigma.^[27]

A geometria não euclidiana é um exemplo de revolução científica na história da ciência, em que matemáticos e cientistas mudaram a forma como viam seus próprios objetos de estudo^[28]. Alguns geômetras chegaram a chamar Lobachevsky de o “Copérnico da Geometria”, devido ao caráter revolucionário de sua obra.^[29]

A existência das geometrias não euclidianas impactou de várias formas a vida intelectual da Inglaterra vitoriana e, em particular, foi um dos principais fatores que levaram à reavaliação do ensino de geometria baseado nos Elementos de Euclides. Essa questão curricular foi intensamente debatida na época e chegou a ser o tema de um livro, Euclides e seus Rivais Modernos, escrito por Charles Lutwidge Dodgson (1832–1898), mais conhecido como Lewis Carroll, autor de Alice no País das Maravilhas.^[30]

• Espaço Euclidiano
• Espaço Hiperbólico
• Geometria Projetiva
• Geometria Elíptica
• Paralelismo
• Geometria Esférica

• David E. Rowe. Euclidean geometry and physical space. The Mathematical Intelligencer / Volume 28, Number 2 (2006), 51-59. Issn: 0343-6993