Simplexkategorie

Die Simplex-Kategorie ist im mathematischen Teilgebiet der Höheren Kategorientheorie eine spezielle Kategorie, welche für kombinatorische Beschreibungen verwendet wird. Insbesondere ist dies über Funktoren in sämtlichen Kategorien möglich, was auf simpliziale Objekte führt. Simpliziale Mengen bilden dabei insbesondere die grundlegenden Bausteine der Höheren Kategorientheorie.

Sei ${\displaystyle [n]:=\{0,\ldots ,n\}}$ die partiell geordnete und dadurch auch als Kategorie auffassbare Menge der ersten ${\displaystyle n+1}$ natürlichen Zahlen (einschließlich ${\displaystyle 0\in \mathbb {N} }$ mit der einelementigen Menge ${\displaystyle [0]:=\{0\}}$). Nun ist die Simplexkategorie ${\displaystyle \Delta }$ die Kategorie all dieser Mengen als Objekte und mit den monoton ordnungserhaltenden Abbildungen als Morphismen:^[1]

${\displaystyle \operatorname {Ob} \Delta =\{[n]|n\in \mathbb {N} \};}$

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{[m],[n]}=\{f\colon [m]\rightarrow [n]|\forall k\leq l\in [m]\colon f(k)\leq f(l)\in [n]\}.}$

Eine alternative Definition mit strikt monotonen Abbildungen ist auch möglich.

• Denis-Charles Cisinski: Higher Categories and Homotopical Algebra (= Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Band 180). Cambridge University Press, 2019, ISBN 978-1-108-47320-0, doi:10.1017/9781108588737 (englisch, uni-regensburg.de [PDF]). 

• simplex category auf nLab (englisch)

1. ↑ Cisinski 19, S. 7